ساختار فراکتالی چیست؟

استراتژی معاملاتی فراکتال در فارکس

ساختار فراکتالی چیست؟

ریاضیات مقیاس به زبان فراکتال ها: بزرگ، کوچک و هر آنچه بین آنهاست

بَرخال، فرکتال یا فراکتال (Fractal) ساختار هندسی عجیبی است که با بزرگ کردن هر بخشش به نسبت معین، همان ساختار نخستین به دست می‌آید؛ ساختاری که هر بخشش با کلش همانند… بیشتر

فراکتال کوانتومی الکترون‌ها: زندگی عجیبی در ۱.۵۸ بُعد!

فراکتال‌ها دنیایی از رازهای شگفت‌انگیزند. الگوهای ساختاری عجیب و غریبی که تقارن و غنای زیبایی‌شناختی آنها الهام‌بخش بسیاری از هنرها بوده است (از جمله طراحی‌های زیبای مساجد دوره اسلامی). اما… بیشتر

شباهت عجیب و عمیق شبکه نورون و شبکه کهکشانی: حافظه شما می‌تواند در ساختار کیهان ذخیره شود!

یکی از جذاب‌ترین سوالاتی که در مورد اجزای کائنات، به ذهن خطور می‌کند، امکان شباهت ساختاری آنهاست. آیا ممکن است بین ساختار ریزترین ذرات هستی و عظیم‌ترین آنها، شباهتی وجود… بیشتر

درباره ی دیپ لوک

در دیپ لوک سعی می‌کنیم به عنوان یک انسان متعالی، ژرفای نگاهمان را وسعت ببخشیم، به کائنات، دقیق‌تر بنگریم و جواب چراهایمان را پیدا کنیم…
این سایت، اولین مرجع تخصصی تازه‌ترین اخبار و مقالات دنیای کوانتومی به زبان شیرین پارسی است. دیپ لوک میخواهد با همه ارتباط برقرار کند، از این رو علاوه بر مقالات منتشر شده در معتبرترین مجلات علمی، مطالب جذاب کوانتومی به زبان ساده را نیز پوشش می‌دهد و در نهایت با مقالات فلسفه‌ی کوانتوم، پازل خود را تکمیل می‌کند. امیدواریم دیپ لوک بتواند سهم کوچکی در رشد و تعالی جهان‌بینی پارسی‌زبانان داشته باشد …

با دیپ لوک در ارتباط باشید…

شما می توانید از طریق فرم زیر یا ایمیل [email protected] با دیپ لوک در ارتباط باشید. پیام شما در کوتاهترین زمان، پاسخ داده خواهد شد

استراتژی معاملاتی فراکتال در فارکس – Fractals-Forex

استراتژی معاملات فراکتال fractals تنها یکی از روش‌های ارزیابی است که در دوره‌های یک روند باثبات مؤثر است. درک این نکته ضروری است که استراتژی‌های تجارت فراکتال در ابتدا برای بازار سهام توسعه یافت که نوسانات کمتری داشتند و بیشتر پیش‌بینی می‌شدند.

استراتژی معاملاتی فراکتال در فارکس

تجارت با فراکتال ها به طور گسترده توسط تریدرهای بزرگ بازار مورد استفاده قرار می گیرد و بهترین نشانگر قابلیت اطمینان فراکتال ها است.

بنوا ماندلبرو، اقتصاددان و ریاضیدان فرانسوی، خالق هندسه فراکتال، اولین کسی بود که به شکل‌های تکراری قیمت توجه کرد. تجزیه و تحلیل قیمت پنبه برای یک دوره بیش از 100 سال منجر به ایجاد تکنیک تجارت مؤثر برای اولین بار معروف به “آشوب تجارت” توسط بیل ویلیامز شد. این ویلیامز بود که برای اولین بار پیشنهاد کرد که بازار آشفته، سیستم چند عاملی و خود تنظیمی است و تمام مدل های خطی را لغو کرد.

آنچه در این مقاله خواهید خواند

نحوه استفاده از fractals در فارکس

پیوندهای فراکتالی قیمت مبادلات و ساختارهای تکرار شونده توسط نتایج مدل‌سازی رایانه‌ای تأیید شده‌اند.

فراکتال (از لاتین fractus ) به معنای طرح مقیاس پذیر ثابت با شکل نامنظم است که بر روی هر داده ظاهر می شود. فراکتال تجاری در بازار مالی، الگوی کندل است که توسط حداقل 5 (یا بیشتر) کندل شکل می‌گیرد که high در دقیقه کندل مرکزی از high کندل های همسایه بیشتر است.

ظهور fractals به معنای آغاز یک هرم قیمتی جدید است و به عنوان یک سیگنال معاملاتی محسوب می شود.

fractal up (یا سیگنالی برای ورود به خرید) مجموعه ای است که در آن (حداقل) 5 میله متوالی یک الگو را تشکیل می دهند، جایی که بالاترین high با یک کندل متوسط ​​نشان داده می شود.

یک فرکتال داون (یا یک سیگنال برای موقعیت فروش) الگوی معکوس است که توسط پنج (یا بیشتر) کندل متوالی ساخته شده است که میانگین آن کمترین حداقل را نشان می دهد.

تحلیل فراکتال چیست و چه ارزشی دارد؟

هدف از چنین تحلیلی «توجه به موقع و صحیح» طرح‌های fractals در ارتباط با سایر داده‌های بازار بدون توجه به اینکه بنیادی و فنی، حجمی و موقتی هستند، است. مجموعه فراکتال های واقعی بسیار پویا است و بسته به کمیت و ساختار می تواند متفاوت باشد. به عنوان مثال، ظهور max/min برای یک فراکتال نیازی به پشت سر هم بودن ندارد. نکته اصلی این است که یکی از میله های مرکزی باید افراطی آشکار را نشان دهد. بنابراین، ترکیبات غیر استاندارد نیز می توانند به عنوان فراکتال استفاده شوند:

اگر افراط در چندین نوار از یک الگو ظاهر شده باشد، تنها آخرین مورد به عنوان یک سیگنال معاملاتی در نظر گرفته می شود. حرکت فعلی قیمت 1 واحد بالاتر از سطح فراکتال به بالا، پیشرفت فروشندگان است، در حالی که اگر 1 نقطه پایین تر از فراکتال پایین باشد، یک پیشرفت برای خریداران است. طرح تقریبی یک ورودی در زیر نشان داده شده است.

ظهور fractal به معنای تکانه چرخشی قوی است که با حرکت اولیه در شکل گیری الگو تأیید می شود. قوی ترین سیگنال درست پس از ظهور آن است و می توان از همان گروه کندل ها هم برای فرکتال های بالا و هم برای فرکتال های پایین استفاده کرد. نشانگرهای fractal های ظاهر شده دوباره ترسیم نمی شوند.

مرز فراکتال بالایی حداکثر است، در حالی که مرز فرکتال پایینی حداقل است. در این مورد از معامله fractal باید ورودی در جهت مخالف فراکتال ایجاد شده وجود داشته باشد، توقف 1-5 نقطه بالاتر/پایین تر از مرز میله کلید است. در صورت تشکیل فراکتال مخالف، سیگنال معاملاتی فعلی لغو می شود.

شرایط استفاده از fractal در معاملات فارکس

ظهور دو فراکتال چند جهته نزدیک به یکدیگر (گاهی اوقات در یک کندل) شروع fractals نامیده می شود: در ادامه بازار تصمیم می گیرد به نفع یکی از جهت ها باشد.

هنگام انجام آنالیز فراکتال به فاکتورهای استاندارد توجه می کنیم:

1. هر چه دوره شکل گیری ساختار fractals طولانی تر باشد، سیگنال معاملاتی داده شده توسط آن قابل اطمینان تر است.
2. هرچه بازه زمانی کمتر باشد، fractals و خرابی‌های «نادرست» بیشتر ظاهر می‌شوند. گاهی اوقات انتظار برای لحظه ای که fractal «صحیح» ایجاد می شود، منجر به حذف نقطه ورود خوب می شود.
3. در صورت ظهور چندین فراکتال چند جهته در یک سطح با شکست بعدی سطح، می توان انتظار یک روند قوی و طولانی در جهت شکست را داشت.
4. fractals نشان دهنده آغاز (یا پایان) برخی از حرکت های پالس است و بنابراین، می توان آن را کاملاً به عنوان یک ساختار موجی در نظر گرفت. استفاده از فراکتال ها در تحلیل موج فقط در دوره های Daily و بالاتر امکان پذیر است. در صورت تعیین “اعتبار” پیشرفت یک fractal ، مهم است که به درستی آنالیز ساختار کندلی که این فراکتال بر روی آن شکل گرفته است انجام شود.
5. اگر بسته شدن یک کندل پیشرفت بسیار فراتر از سطح انباشته اتفاق بیفتد، در این صورت امکان باز شدن در جهت موفقیت در یک بازه زمانی کوچکتر وجود دارد.
6. اگر طرح کندل نشان دهنده مدل چرخشی باشد، با احتمال زیاد می توان انتظار ظهور fractals بازگشتی و انتقال را به صورت مسطح داشت.

تجزیه واقعی یک fractal

تجزیه واقعی یک فراکتال در هر بازه زمانی باید با حجم های خاصی تأیید شود. به نظر می رسد یک کندل موفقیت آمیز محکم، اما با حجم کم، یک سیگنال ناپایدار است. همچنین برای ارزیابی حجم ها توصیه می شود از طرح های استاندارد پرایس اکشن استفاده شود.

امروزه هیچ کس به صورت دستی به دنبال fractal های معاملاتی در نمودار قیمت نمی گردد. برای این منظور یک بسته استاندارد از هر پلتفرم تجاری شامل اندیکاتور فراکتال است. ما دو استراتژی تجاری محبوب را بر اساس آن ارائه خواهیم کرد.

برای استفاده از این استراتژی، نشانگرهای fractal و تمساح منظم با تنظیمات استاندارد ضروری هستند. ما همه ارزهای اصلی و دارایی های آتی را معامله می کنیم: برای تجزیه و تحلیل نقاط ورودی از M15، برای نگهداری از H1 بالا وبرای معاملات آتی از D1 بالا استفاده می کنیم.

تمساح استراتژی + fractal

طرح ورود برای معاملات fractal در فارکس در زیر نشان داده شده است. استاپ لاس ها در نقطه مقابل 2 فرکتال آخر قرار دارند: خرید کمتر از کمترین مقدار است، فروش بالاتر از بالاترین است. ما تراکنش را تا زمانی که فراکتال بازگشتی تشکیل شود نگه می داریم. در یک روند خنثی، ما همه fractal ها را نادیده می گیریم.

هنگام انجام تحلیل بازار fractal با استفاده از این تکنیک، لازم است به یاد داشته باشید که:

• معامله بر خلاف جهت تمساح غیرممکن است.

• اولین فراکتال پس از خروج تمساح از خواب زمستانی، سیگنال هشدار است.

• در مورد یک تخت طولانی باریک، می توان دستورات معلق را فراتر از مرزهای فراکتال های کوچک قرار داد.

• خط تمساح قرمز خط توقف پویا است.

• در صورت بسته شدن استاپ ورودی زیر تنها پس از ظهور فراکتال بعدی خواهد بود.

استراتژی تجارت fractal ویلیامز بدون اندیکاتورهای اضافی

هر دارایی ارزی با نوسانات متوسط ​​در معرض روندهای ثابت معامله می شود: EUR/USD، AUDUSD، GBP/USD. دوره برای تجزیه و تحلیل و ورود D1 است. استاپ ها و سودها معمولاً قرار نمی گیرند، در پایان آنها به صورت دستی بسته می شوند.

اگر fractal بالا وجود داشته باشد، سیگنال فروش است، در مورد فراکتال پایین، سیگنال خرید وجود دارد. امکان ورود با دستور بازار و همچنین سفارشات در حال انتظار وجود دارد:

• خرید (BuyStop) ،2-5 پیپ بالاتر ازhigh کندل دوم پس از یک کندل کلیدی fractal است.

• فروش (SellStop) 2-5 پیپ کمتر از یک دقیقه کندل دوم است که بعد از کندل کلید قرار می گیرد.

نقص: بخش قابل توجهی از حرکت اصلی در انتظار فراکتال “درست” می گذرد.

نتیجه استراتژی معاملاتی fractal

معامله فراکتال تنها یکی از روش های ارزیابی بازار است که در دوره های یک روند باثبات موثر است، در حالی که در یک روند خنثی می تواند سودآور نباشد. درک این نکته ضروری است که استراتژی‌های تجارت fractal در ابتدا برای بازار سهام توسعه یافتند که نوسانات کمتری داشت و بیشتر پیش‌بینی می‌شد. موقعیت‌های ساختار فراکتالی چیست؟ غیرمعمول بازار که در فارکس به وجود می‌آیند، اغلب باعث شکست در محاسبه ساخت fractal ها و همچنین ظهور سیگنال‌های «نادرست» یا دشوار برای تشخیص می‌شوند. با این حال، fractal ها در ارتباط با ابزارهای روند، ابزار قدرتمند یک تحلیل تکنیکال را نشان می‌دهند و می‌توانند مبنای ساختن یک سیستم سودآور باشند.

قصد دارید با ما در این خصوص ارتباط برقرار کنید؟ فرم زیر را پر کنید تا با شما ارتباط بگیریم.

قصد دارید با ما در این خصوص ارتباط برقرار کنید؟ فرم زیر را پر کنید تا با شما ارتباط بگیریم.

فراکتال ها, پنجره ریاضیات رو به هستی

بسیاری از مردم مسحور زیبایی خیره‌کننده تصاویری موسوم به فراکتال‌ها می‌شوند. فراکتال‌ها شاخه تلفیقی جدیدی از ریاضیات و هنر محسوب می‌شوند و شاید علت آن که فراکتال‌ها در نظر بیشتر افراد به چشم تصاویری زیبا مناسب پیشخوان رایانه‌ها یا طرح‌های بدیع و اصیل کارت پستالی دیده می‌شوند همین آمیختگی ریاضی و زیباشناختی آن است.

اکثر نظام‌های عینی طبیعت و بسیاری از مصنوعات بشری در چارچوب اشکال هندسی منتظم و یکدست هندسه اقلیدسی نمی‌گنجند. هندسه اقلیدسی با همه معیارهایش در برابر تعریف نظام‌های طبیعی و مصنوعی جهان حرفی برای گفتن ندارد، اما از آن طرف هندسه فراکتالی راه‌های تقریبا نامحدودی را برای توصیف، اندازه‌گیری و پیش‌بینی پدیده‌های طبیعی در آستین دارد. فراکتال‌ها در بسیاری از ساختارهای طبیعی مثل برف‌دانه‌ها، کوه‌ها، ابرها، ریشه، تنه و برگ درختان، رویش بلورها در سنگ‌های آذرین، شبکه آبراه‌ها و رودخانه‌ها، رسوبگذاری الکتروشیمیایی، رویش توده باکتری‌ها و سیستم عروق خونی، DNA و. دیده می‌شوند و با آنها می‌توان پدیده‌های طبیعی بسیاری را تشریح، تفسیر و پیش‌بینی کرد. بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نظیر تراشه‌های سیلیکونی، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها نیز از قوانین فراکتالی پیروی می‌کنند. این شکل‌های هندسی زیبا به واسطه سازگاری پویا و جاذبه غریبی که در ارتباط میان خود و محیط پیرامونشان ایجاد می‌کنند از نوعی نظم دقیق در عین بی‌نظمی برخوردارند و پتانسیل شگفت‌آوری را برای عوض کردن دیدگاه و تفسیر ما از پدیده‌های عالم و نقش بنیادی ریاضیات برای توصیف ساختار فراکتالی چیست؟ و توضیح جهان در خود نهفته دارند. هندسه فراکتال، مرزهای درک و استنباط بشر از ریاضیات را که به عنوان کالبدی از فرمول‌های پیچیده و ملال‌آور در اذهان تعریف شده است، فراتر می‌برد و با تلفیق هنر و ریاضیات بوضوح نشان می‌دهد معادلات ریاضی چیزی بیشتر از مجموعه‌ای از اعداد هستند. شاید سودمندی مفاهیم ریاضی برای ایفای چنین نقش مهمی، موهبت خدادادی بی‌نظیری است که آنچنان که شایسته بوده درکش نکرده‌ایم. آیا با این اوصاف، تعریف کردن کل جهان با استفاده از معادلات ریاضی امکان‌پذیر است؟

● هندسه بعد چهارم یا هندسه طبیعت

بنوا مندل‌برو (۱۳۸۹‌‌ـ‌۱۳۰۳) پدر هندسه فراکتالی، مبدع واژه فراکتال و کاشف مجموعه مندل‌برو است که تقریبا مادر تمام فراکتال‌ها محسوب می‌شود. مندل‌برو در نوجوانی، آموزش و تعلیمات رسمی‌ منظمی‌کسب نکرد و به گفته خودش هیچ‌گاه نتوانست الفبا و جدول ضرب را درست و حسابی فرا بگیرد، اما در عین حال در برخی حوزه‌های زبان‌شناسی، نظریه بازی‌ها و احتمالات، دانش هوانوردی، مهندسی، علم اقتصاد، فیزیولوژی، جغرافیا، نجوم و صد البته فیزیک کارشناس و خبره بود. مندل برو از دانش پژوهان مشتاق تاریخ علم نیز بود و از همه مهم‌تر جزو نخستین ریاضیدانان جهان به لحاظ دسترسی به رایانه‌های پر سرعت محسوب می‌شود.

بنوا مندل‌برو کشفیات بزرگ خود را با سرپیچی و تمرد از قدرت حاکم زمانه یا همان ریاضیات آکادمیک صورت داد. در گذشته، علوم و ریاضیات بر محور نظام‌های محدودی در۳ بعد نخست یا همان خط، سطح و فضا دور می‌زدند که ظاهرا با جهان واقعی و مختصاتش که بعد چهارم گفته می‌شد میانه‌ای نداشتند. در حقیقت ما در بعد چهارم یا پیوستار فضا زمان زندگی می‌کنیم. گرچه از زمان اینشتین به بعد بود که فهمیدیم حتی بعد سوم واقعا وجود ندارد و تنها مدلی برای واقعیت می‌تواند باشد، اما پس از مندل‌برو بود که تازه متوجه شدیم بعد چهارم واقعا چیست و چگونه به نظر می‌رسد و از چهره فراکتالی آشوب و بی‌نظمی‌ باخبر شدیم؛ کسی که چهره اصلی نظریه‌پردازی آشوب در زمانه ما محسوب می‌شود.

تحقیقات مندل‌برو نهایتا به دستاورد بزرگی منجر شد که در یک فرمول ساده ریاضی خلاصه می‌شود. این فرمول که امروز به افتخار نام مخترعش مجموعه مندل‌برو نامیده می‌شود و برخی آن را بزرگ‌ترین کشف ریاضیات قرن بیستم می‌دانند یک حساب دینامیک و پویا بر اساس تکرار اعداد مرکب با صفر به عنوان نقطه شروع است. فرمول مندل‌برو خلاصه‌ای از درک و بینش‌های بسیاری است که مندل‌برو از هندسه فراکتال طبیعت یا همان جهان واقعی بعد چهارم به دست آورده است. فرمول مندل‌برو در تضاد آشکار با جهان آرمانی اشکال اقلیدسی بعدهای اول تا سوم است که دغدغه خاطر تقریبا تمامی ‌ریاضیدانان پیش از مندل‌برو بوده است.

در جایی که هندسه اقلیدسی پیرامون کمال مطلق تقریبا ناموجودی در طبیعت دور می‌زد و سعی داشت همه اشیا و مظاهر طبیعی را از دریچه تنگ نظم و ترتیب مجسم کند و قاعدتا از توصیف واقعی شکل یک ابر، کوه، خط ساحلی یا حتی یک درخت ناتوان بود. مندل‌برو در کتاب هندسه فراکتال طبیعت (۱۳۶۲) خود می‌گوید: «ابرها کروی نیستند، کوه‌ها مخروط نیستند، خطوط ساحلی مدور نیستند، پوست درخت صاف نیست و رعد و برق نیز خط سیر مستقیمی‌ ندارد.» پیش از مندل‌برو، ریاضیدانان بر این باور بودند که پیچیدگی، بی‌قاعدگی، بخش بخش شدگی و بی‌نظمی ‌اکثر الگوهای طبیعت فراتر از آن است که بتوانند به لحاظ ریاضیاتی توصیف و تبیین شوند. اما مندل‌برو، هندسه فراکتالی جدیدی از طبیعت را بر اساس بعد چهارم و اعداد مرکب درک و توسعه بخشید که قادر به توصیف ریاضیات بی‌نظم‌ترین اشکال جهان واقعی است. به گفته خودش هندسه فراکتالی صرفا فصلی از کتاب ریاضیات نیست، بلکه موهبتی از دانش ریاضیات است که امکان مشاهده متفاوت یک جهان را برای همگان فراهم می‌آورد.

مندل‌برو ثابت کرد بعد چهارم شامل ابعاد کسری می‌شود که بین ۳ بعد نخست قرار دارد و این مفهوم ابعاد بینابینی یا حد فاصل ابعاد را بعدهای فراکتالی نامید. وی واژه فراکتال را بر اساس صفت لاتین فرکتوس نامگذاری کرد که با فعل لاتین فرنجر به معنی شکستن و خرد کردن متناظر بود و مفهوم ایجاد بخش‌های نامنظم و نامرتب را تداعی می‌کرد. مندل‌برو به لحاظ ریاضیاتی ساختار فراکتالی چیست؟ و گرافیکی نشان داده است طبیعت برای ایجاد اشکال مختلط و بی‌نظم و قاعده جهان واقعی چگونه از بعدهای فراکتال استفاده می‌کند. یک فراکتال به عنوان فرمی ‌هندسی دارای اشکال نامنظم است، اما در بطن این تصاویر بی‌قاعده و نامنظم، نظمی ‌پنهان وجود دارد. این نظم پنهان در بی‌نظمی‌ در اصل تکرار پشت سر هم نسخه‌های شبیه به هم از شکل کلی است که ظاهرا به چشم نمی‌آید، ولی زمانی که بخش کوچکی از یک شکل نامنظم کلی همانند کوه را از نزدیک مشاهده می‌کنیم، با نسخه تکرار شده مشابهی از شکل کلی کوه در مقیاس کوچک‌تر مواجه می‌شویم و هر چه نزدیک‌تر شویم باز هم همان شکل را در مقیاسی خردتر می‌بینیم و این تسلسل تا بی‌نهایت می‌تواند ادامه داشته باشد. می‌توان در هر جایی از طبیعت یا در واقع دنیای زیگزاگ طبیعت فراکتال‌ها و خود تشابهی را با هر مقیاسی سراغ گرفت. این واقعیت زیبا در هر برف دانه، هر خدنگ رعد وبرق، هر درخت، هر شاخه و حتی در دستگاه گردش خون با رگ‌هایش و خلاصه از صدف دریا گرفته تا کهکشان‌های مارپیچ به چشم می‌خورند.

● فرش قرمز دانش برای هندسه فراکتالی

امروز به لطف مندل‌برو و نظریه معاصر بی‌نظمی، ما به درکی ریاضیاتی از برخی فعالیت‌های تاکنون مخفی و رازآلود طبیعت نائل شده‌ایم. ما برای نخستین بار فهمیده‌ایم که چرا ۲ درخت نزدیک به یکدیگر در جنگل که در یک زمان و از یک خاک و از یک خانواده با ژن‌های یکسان در حال رشد و نمو هستند، هر کدام به شکلی منحصر به فرد از کار درخواهند آمد. درست همانند هر برف دانه‌ای که از یک ابر و در یک ساختار فراکتالی چیست؟ زمان و تحت شرایط یکسانی تشکیل شده و فرود می‌آیند، ولی باز هم هر کدام از آنها بی‌مانند و یگانه هستند و با بقیه برف دانه‌ها فرق دارند. چنین حالتی تنها به واسطه خصلت بی‌نهایتی که در بعدها و تأثیر متقابل تصادف و احتمال یا همان بی‌نظمی‌غیر قابل پیش‌بینی وجود دارد، امکان‌پذیر می‌شود. هندسه فراکتالی بر بسیاری از حوزه‌های علوم مانند اخترفیزیک و علوم‌زیستی سایه افکنده و به یکی از مهم‌ترین تکنیک‌های دانش گرافیک رایانه بدل شده است.

● فراکتال‌ها در اختر فیزیک

هیچ‌کس واقعا نمی‌داند چند ستاره در آسمان شب چشمک می‌زند، ولی نحوه شکل‌گیری و قرارگیری آنها در عالم همواره مایه حیرت و شگفتی بوده است. اختر فیزیکدانان بر این باورند که ماهیت فراکتالی گاز میان ستاره‌ای کلید راهنمای این مسأله باشد. فراکتال پخش و انتشار گازها به صورت سلسله مراتبی است که نظیر آن در خزیدن‌های دود در هوا یا موج خوردن ابرها در آسمان دیده می‌شود. اشکال آشفتگی ابرها در آسمان و در فضا الگویی نامنظم، اما تکرار شونده به آنها می‌بخشد که توصیفش بدون کمک گرفتن از هندسه فراکتالی غیرممکن خواهد بود.

● فراکتال‌ها در علوم زیستی

مدلسازی طبیعت با استفاده از بازنمایی‌های هندسه اقلیدسی که ضربان خون را به صورت موج سینوسی، درختان سوزنی برگ را به صورت مخروط و غشای سلولی را به صورت منحنی و سطوح صاف و ساده به نمایش می‌گذاشت، تغییر خواهد کرد. نمونه‌های بارزی از اشکال فراکتالی را می‌توان در بدن انسان یافت. شناخته شده‌ترین مثال فراکتال بدن مجموعه رگ‌ها و شریان‌های دستگاه گردش خون پستانداران و انسان است. ساختار نایژه‌ای شش‌های انسان از جمله فراکتال‌های زیبا و مثال‌زدنی زنده محسوب می‌شود که ویژگی خودمتشابهی و ایجاد نسخه‌های مکرر خردتر از نمونه کل را تا بیش از ۱۵ انشعاب مسلسل و پی در پی به نمایش می‌گذارند. کشفیات تازه در حوزه تحقیقات مغز به وجود یک ساختار فراکتالی مبتنی بر ۶ ضلعی‌ها اشاره دارد که ممکن است در نحوه سازماندهی میدان‌های گیرندگی بصری بخش قشری مغز نقش داشته باشد. دانشمندان کشف کرده‌اند معماری پایه یک کروموزم ساختاری درختی دارد و هر کروموزم شامل میکروکروموزم‌های بسیاری می‌شود که می‌توان با تئوری فراکتال آن را توضیح داد. از طرفی ویژگی خودمتشابهی ذاتی فراکتال‌ها در توالی‌های DNA نیز مشخص شده است. به عقیده برخی زیست‌شناسان، از شناسایی خصوصیات فراکتالی دی . ان .ای می‌توان برای حل روابط تکاملی جانوران استفاده کرد. دانش زیست‌شناسی ممکن است در آینده برای ارائه مدل‌های جامعی از الگوها و فرآیندهای مشاهده شده در طبیعت از هندسه فراکتال استفاده کند.

● فراکتال‌ها در گرافیک رایانه‌ای

وسیع‌ترین دامنه کاربرد فراکتال‌ها در زندگی روزمره در علوم رایانه است. بسیاری از طرح‌های فشرده‌سازی تصویری از الگوریتم‌های فراکتال استفاده می‌کنند. هنرمندان گرافیک رایانه‌ای برای خلق مناظر بافت‌دار و دیگر مدل‌های پیچیده و پر طول و تفصیل از فرم‌های فراکتال زیادی استفاده می‌کنند. ایجاد انواع تصاویر واقع نمایانه از سکانس‌های طبیعت نظیر تصاویری از ماه، رشته کوه‌ها و خطوط ساحلی که در بسیاری از جلوه‌های ویژه سینمایی دیده می‌شوند به لطف همین الگوریتم‌های فراکتالی امکان پذیر هستند.

● و اما حرف آخر

دانشمندان دریافته‌اند هندسه فراکتال ابزار قدرتمندی برای رازگشایی از طیف گسترده‌ای از نظام‌ها و حل‌کردن مشکلات مهم علوم کاربردی است. نظام‌های فراکتالی عینی و ملموس جهان فهرست بلند بالایی دارند که به​سرعت در حال رشد است. فراکتال‌ها دقت ما در توصیف و طبقه‌بندی کردن اشیای تصادفی یا ارگانیک را بهبود بخشیده‌اند، اما ممکن است کامل و بی‌عیب نباشند. شاید فراکتال‌ها فقط به جهان ما نزدیک‌ترند و یکی عین آن نیستند. برخی دانشمندان هنوز بر این باورند که بی‌نظمی وجود دارد و هیچ معادله ریاضی آن را به طور کامل و بی‌نقص توصیف نخواهد کرد. شاید هم از نظر بسیاری، فراکتال‌ها چیز بیشتری از تصاویر زیبا عرضه نخواهند کرد، اما فراکتال‌ها و هندسه فراکتالی هر چه باشد منظره متفاوتی از واقعیت جهانی را که در آن زندگی می‌کنیم به نمایش گذاشته است.

حساب و کتاب فراکتالی در بازار سرمایه

شیوع بیماری کرونا و جنگ نفتی میان روسیه و عربستان منجر به ریزش شاخص‌های بورسی و قیمت نفت در سرتاسر جهان شده که می‌تواند موج جدید و بی‌سابقه‌ای از رکود در سراسر جهان را بوجود آورد. از آنجا که نفت یکی از مهم‌ترین کالاهایی‌ست که روزانه در سراسر جهان مبادله می‌شود، قیمت آن تأثیر بسیار زیادی بر سیاست‌های کلان کشورها و آینده جهان دارد.

در این متن قصد دارم کاربرد فراکتال‌ها در بازار بورس و سرمایه را توضیح دهم و نشان دهم که چگونه می‌توان به وسیله آن آینده قیمت نفت و جهان را پیش‌بینی کرد.

فراکتال‌ها

به صورت خیلی ساده، فراکتال ساختاری هندسی‌ست که اگر بخشی از آن را بزرگ کنیم مجددا به خود اصل ساختار هندسی برسیم، یا به عبارت دیگر یک فراکتال ساختاری‌ست که هر بخش کوچکتر آن با خودش یکی است. اصطلاحا به این ویژگی خودهمانندی می‌گویند.

برفدانه کخ

برفدانه کخ یکی از ساده‌ترین و معروف‌ترین مثال‌های ساختارهای فراکتالی است.

امواج الیوت

امواج الیوت یکی از قوی‌ترین و دقیق‌ترین تئوری‌های موجود در تحلیل تکنیکال در بازار بورس و سرمایه است که رالف الیوت آن را پایه‌گذاری کرد. رالف الیوت طی چند ده سال با بررسی داده‌های قیمت سهم‌های مختلف بازار بورس توانست قوانین کلی و جامعی را بر چگونگی تحول قیمت سهام‌ها بدست آورد.

به طور کلی قیمت یک سهم می‌تواند با گذر زمان در یک روند صعودی یا نزولی قرار بگیرد. آنچه الیوت در بررسی‌اش یافت این بود که قیمت در هرکدام از این روندها ۵ مرحله جلو می‌رود و ۳ مرحله اصلاح می‌شود، به این معنی که برای مثال در یک روند صعودی ، قیمت در ۵ مرحله صعود می‌کند و در ۳ مرحله نزول ‌یا اصطلاحا اصلاح می‌شود. همچنین در یک روند نزولی قیمت در ۵ مرحله نزول می‌کند و سپس در ۳ مرحله صعود.

برای درک بیشتر به شکل های زیر دقت کنید:

موج الیوت در یک روند صعودی

موج الیوت در یک روند نزولی

این ساختار را موج الیوت می‌نامیم اما هر صعود یا هر نزولی نمی‌تواند بخشی از یک موج الیوت باشد. ۳ قانون بسیار مهم درباره امواج الیوت وجود دارد:

قانون اول: در موج صعودی نقطه ۲ نباید به اندازه ابتدای خط نقطه ۱ پایین بیاید.(در موج نزولی ۲ نباید به اندازه ابتدای خط نقطه ۱ بالا بیاید.)

قانون دوم: در موج صعودی نقطه ۴ نباید پایین‌تر از نقطه ۱ بیاید. (در موج نزولی ۴ نباید بالاتر از نقطه ۱ بیایید.)

قانون سوم: خط متصل‌کننده ۲ به ۳ نباید کوچک‌تر از خط ۱ به ۲ و یا ۴ به ۵ باشد.

ادعای الیوت این است که تمامی تحولات قیمت یک سهم در بازار بورس را می‌توان بر اساس امواج الیوتی که در بالا توضیح داده شد، توجیه و پیش‌بینی کرد.

خاصیت فراکتالی امواج الیوت

در واقع تحول قیمت یک سهم در بازار بورس بسیار پیچیده‌تر از آن است که در بخش بالا توضیح داده شد. برای مثال تصویر زیر را از تحول روزانه قیمت سهم خلنت در بازار بورس ایران نگاه کنید:

نمودار قیمت بر حسب زمان سهم خلنت در بازار بورس ایران

همان طور که مشاهده می‌کنید تحول قیمت این سهم بسیار پیچیده‌تر از حالت ساده‌ای‌ست که الیوت در نظر گرفته بود اما خاصیت اعجاب‌آوری که این امواج دارند، این است که هر کدام از بخش‌های ریزتر این موج می‌تواند خود یک موج الیوتی باشد.

برای مثال در یک موج الیوت صعودی خط متصل‌کننده ۲ به ۳ را در نظر بگیرید. در این خط قیمت در حال افزایش است، بنابراین خود این خط می‌تواند یک موج صعودی الیوتی باشد. یعنی خود می‌تواند در ۵ مرحله ریزتر صعود کرده باشد.(البته اجباری بر این قضیه نیست، می‌تواند از ۵ مرحله ریزتر تشکیل شده باشد و یا با همان یک مرحله ساده صعود کند.)

همچنین بعد از خط ۲ به ۳، موج می‌خواهد موج ۳ به ۴ را طی کند که یک موج نزولی است. این موج می‌تواند خود یک موج اصلاحی باشد، به این معنا که خود می‌تواند از ۳ بخش a,b,c تشکیل شده باشد.

حال تصور کنید که تک‌تک خطوط یک موج الیوت هر کدام بتوانند یک موج الیوت دیگر باشند و هر کدام از موج‌های الیوت ریزتر بتوانند خود موج الیوت باشند و … در این صورت یک موج الیوت بزرگ می‌تواند ساختارهای بسیار پیچیده و پرجزئیاتی را بسازد و تولید کند. (البته تمام موج‌های ریز و درشت باید در ۳ قانون اساسی الیوت صدق کنند.)

خاصیت فراکتالی امواج الیوت

تحلیل الیوت سهم خلنت

حال در این بخش می‌خواهیم نمودار قیمت سهم خلنت را به روش امواج الیوت تحلیل کنیم.

نمودار قیمت سهم خلنت که به وسیله امواج الیوت تحلیل شده است.

نمودار بالا همان نمودار شکل شماره ۴ است که با ۳ نوع عدد مختلف بخش‌های مختلفش مشخص شده است:ساختار فراکتالی چیست؟

۱- دسته اول اعداد قرمز رنگ با فونت بزرگ مربوط به موج الیوت اصلی

۲- دسته دوم اعداد و حروف سیاه رنگ با فونت متوسط مربوط با ریزموج‌های موج الیوت اصلی

۳- دسته سوم اعداد و حروف سبز رنگ با فونت کوچک مربوط به ریزموج‌های ریزموج‌های موج الیوت اصلی

همان‌طور که مشاهده می‌کنید از وصل کردن نقاط بزرگ قرمزرنگ به یکدیگر یک موج الیوت بزرگ ناقص ساخته می‌شود. نقاط ۰، ۱، ۲ ،۳ و ۴ ساخته شده‌اند و بخش ۵ هنوز ناقص است. همچنین هرکدام از اجزای این موج بزرگ خود می‌توانند شامل ریزموج‌های الیوتی باشند. برای مثال موج ۰ به ۱ قرمز رنگ را در نظر بگیرید.

همان‌طور که مشاهده می‌کنید از ۵ ریزموج متوسط و سیاه‌رنگ تشکیل شده که با اتصال این ۵ نقطه به یکدیگر موج ساخته می‌شود.

همچنین هرکدام از این ساختار فراکتالی چیست؟ ریزموج‌های متوسط و سیاه‌رنگ خود می‌توانند از ریزموج‌های کوچک و سبزرنگ تشکیل شده باشند. برای مثال در موج ۰ به ۱ قرمزرنگ، ریزموج سیاه‌رنگ ۱ به ۲ یک موج اصلاحی است که خود شامل ۳ ریزموج کوچک و سبز رنگ a,b,c است. همچنین ریزموج سیاه ۲ به ۳ خود شامل ۵ ریزموج سبز رنگ است که با اعداد مشخص شده‌اند.

به همین ترتیب کل موج با ۳ دسته متفاوت اعداد و حروف علامت‌گذاری شده است اما فایده این کار چیست؟

همان‌طور که در ابتدا توضیح داده شد اگر اعداد قرمزرنگ را دنبال کنید متوجه می‌شوید که موج بزرگ ناقص است، یعنی در حالی که باید ۵ مرحله بزرگ صعود کند و در ۳ مرحله اصلاح شود، تازه صعود از ۴ به ۵ را شروع کرده اما از کجا معلوم این تحلیل درست باشد؟

اینجا از ریزموج ها کمک می‌گیریم. وقتی تمام قله‌ها و دره‌های ممکن در نمودار را به وسیله چند لایه ریزموج پوشش می‌دهیم (با رعایت قوانین الیوت)، متوجه می‌شویم که حالت دیگری نمی‌تواند وجود داشته باشد که ساختار فراکتالی موج را حفظ کند. بنابراین اگر تمامی ریزموج‌ها و موج‌ها را درست مشخص کرده باشیم، حالتی که بوجود می‌آید، تقریبا یکتا است.

پس قیمت تازه مسیر خود را به سمت نقطه ۵ شروع کرده و این یک فرصت استثنایی برای سرمایه‌گذاری است که به جز با تحلیل الیوت نمی‌توانستیم آن را پیدا کنیم. (توصیه همیشگی سرمایه گذاران: در کف قیمت بخرید و در اوج قیمت بفروشیم، دقیقا وضعیتی که در این سهم بوجود آمده است)

تحلیل قیمت نفت و آینده جهان

برای اینکه با روش توضیح‌داده‌شده در بخش قبل بتوانیم قیمت نفت را ساختار فراکتالی چیست؟ پیش‌بینی کنیم، ابتدا لازم است نگاهی به قیمت نفت بر حسب زمان داشته باشیم.

در اینجا قیمت روزانه نفت را از ۴ سال پیش تا روز ۳ فروردین با کمک امواج الیوت تحلیل کرده‌ایم. برای اینکه شکل خیلی پیچیده و گیج‌کننده نشود، فقط موج الیوت اصلی و بزرگ با فونت بزرگ و مشکی‌رنگ مشخص شده است. در بعضی از بخش‌های موج، ریزموج‌ها را نیز با رنگ قرمز و فونت کوچک مشخص کرده‌ایم.

نمودار قیمت روزانه نفت بر حسب زمان، ثبت شده در روز ۳ فروردین

نمودار قیمت روزانه نفت بر حسب زمان که موج اصلی در آن مشخص شده است

همان‌طور که مشاهده می‌کنید موج اصلی ناقص است؛ ۵ مرحله صعود کرده اما فقط دو مرحله a و b را اصلاح کرده و در حال حاضر در حال طی کردن مرحله b به c است. خود موج b به c طبق خاصیت فراکتالی می‌تواند یک موج الیوتی ۵ مرحله‌ای باشد.

نگاهی باجزییات بیشتر داشته باشم به بخش b به c موج.

نگاه دقیق‌تر به قیمت روزانه نفت بر حسب زمان در روز ۳ فروردین

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، حدس‌مان درست بود. بخش b به c نمودار خود در حال طی کردن ۵ موج است که تا کنون ۳ موج را طی کرده که در شکل با رنگ قرمز و فونت کوچک در انتهای سمت راست نمودار مشخص شده‌اند. بنابراین برای اتمام کامل موج نیاز است که موج از محل شکل‌گیری نقطه ۳، مرحله ۴ (اصلاح) رو به بالا را طی کند و سپس مرحله ۵ که ریزشی‌ست به دنبال آن بیاید.

در نتیجه توقع داریم قیمت نفت در روزهای پس از ثبت نمودارهای بالا کمی زیاد شود و سپس مجددا ریزش کند. در حالی که اگر می‌خواستیم بدون استفاده از این ابزار و صرفا بر اساس تخمین‌مان از جو روانی موجود در بازار تحلیل کنیم، صرفا می‌توانستیم پیش‌بینی کنیم که قیمت نفت تا زمانی که بحران‌ها تمام شوند سقوط می‌کند.

در عمل نیز همین اتفاق افتاده و قیمت نفت پس از کمی افزایش مجددا کاهش یافته تا موج کامل شود ساختار فراکتالی چیست؟ و پس از آن موج جدید شروع شده است. نمودار زیر در تاریخ ۲۱ فروردین ثبت شده است. بنابراین توانستیم با استفاده از تحلیل الیوت پیش‌بینی درستی از روند حرکتی قیمت نفت داشته باشیم.

نمودار قیمت روزانه نفت بر حسب زمان در تاریخ ۲۱ فروردین

همه چیز درباره هنر نقاشی برخال (فراکتال آرت ¦ Fractal art)

بَرخال یا فرکتال، یا فراکتال (Fractal) ساختاری هندسی است که با بزرگ کردن هر بخش از این ساختار به نسبت معین، همان ساختار نخستین به دست آید. به گفتاری دیگر برخال ساختاری است که هر بخش از آن با کل‌اش همانند است. برخال از دور و نزدیک یکسان دیده می‌شود. به این ویژگی خودهمانندی گویند. برخال‌ها یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه‌ای هستند.

نام‌گذاری
فرکتال fractal از واژه لاتین fractus یا fractum به معنی شکسته گرفت شده‌است که بیانگر یکی از شناسه‌های اصلی برخال -بخش‌شدنی- است. واژه فرکتال به معنای سنگی است که به گونه نامنظم شکسته شده باشد.

پیشنهاد فرهنگستان زبان فارسی
فرهنگستان زبان فارسی که با نام گذاری‌های عجیب معروف است برای هنر فراکتال واژه «برخال» را برگزید که از واژه برخ به معنی بخش و پسوند -ال (مانند چنگال) پدید آمده‌است تا حدودی با واژه فراکتال نیز هم وزن است.

کشف
واژه فرکتال در سال 1976 توسط ریاضیدان فرانسوی به نام بنوا مندلبرو وارد دنیای ریاضی شد.. مندل برات هنگامی که پیرامون طول سواحل انگلیس می‌پژوهید دریافت که هرگاه با مقیاس بزرگ این طول اندازه گرفته شود کمتر از زمانی است که مقیاس کوچک‌تر باشد.

ویژگی شکل برخال
– بسیار دور از پیش‌بینی است.
– فرگشت (تکامل) هم‌زمان دارد.
– دارای جایگزینی بهینه است.
– ریشه در قوانین ساده دارد.
– در شکل‌گیری گونه از تکرار بهره‌می‌جوید.
– سامانه‌ای تو در تو است.
– ریختهای اقلیدسی با استفاده از توابع ایستا ساخته می‌شوند ولی ریختهای برخال با فرایندهای پویا ساخته می‌شوند. فرایندهای پویا، فرایندهایی هستند که دارای حافظه می‌باشند و رفتار آن‌ها به گذشته بستگی دارد.
– دارای ویژگی خود همانندی است.
– هر فرایند تکراری و پویا باعث ایجاد ساختارهای پیچیده برخال نمی‌شود. سازوکار فرآوری چنین ساختارهای پویایی، آشوب است. در حقیقت، برخال نگاره‌ای ریاضی از آشوب است.

هندسه برخال
برخال از دید هندسی به چیزی گویند که دارای سه ویژگی زیر باشد:
– دارای ویژگی خودهمانندی باشد یا به انگلیسی self-similar باشد.
– در مقیاس خرد بسیار پیچیده باشد.
– بعد آن یک عدد صحیح نباشد مثلاً 1٫5

محاسبه بعد برخال‌ها
بعد خط یک، بعد صفحه دو و بعد فضا سه است. برخال‌ها برخلاف همهٔ اینها بعد صحیح ندارند. برای نمونه بعد یک برخال می‌تواند 1٫2 باشد که بدین چم از خط پیچیده‌تر و از صفحه سادتر است. بعد برخال‌ها از یک سری فرمول‌های لگاریتمی بدست می‌آیند.

سیستم ساختاری تکرار
این سیستم که دارای علامت اختصاری IFS – Iterated Function System – است، سیستم تکرار را مطرح می‌کند که به نوعی پایهٔ هندسه فرکتال است. تکرار یکی از راه‌های ایجاد فرم در معماری است اما در فرکتال این فرم بایستی دارای مشخصات هندسی که در قسمت هندسه فرکتال مطرح شد را دارا باشد. به‌طور کلی این تکرار می‌تواند از کنار هم قرار گرفتن یک شیء بدست آید یا اینکه یک موضوع نسبت به موضوع دیگر و به‌طور متوالی کوچک شود.

خود همانندی
شیئی را دارای خاصیت خود متشابهی می‌گوییم که هر گاه قسمت‌هایی از آن با یک مقیاس معلوم، یک نمونه از کل شیئی باشد. ساده‌ترین مثال برای یک شیئ خود متشابه در طبیعت گل کلم است که هر قطعهٔ کوچک گل کلم متشابه قطعه بزرگی از آن است. همین‌طور درخت کاج یک شیئ خود متشابه است، چرا که هر یک از شاخه‌های آن خیلی شبیه یک درخت کاج است ولی در مقیاس بسیار کوچکتر. همچنین در مورد برگ سرخس نیز چنین خاصیتی وجود دارد.
رشته کوه‌ها، پشته‌های ابر، مسیر رودخانه‌ها و خطوط ساحلی نیز همگی مثالهایی از یک ساختمان خود متشابه هستند. فراکتال شکل هندسی پیچیده است که دارای جزییات مشابه در ساختار خود در مقیاسهای متفاوت می‌باشد و بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک اندازه است.
جسم فراکتال از دور و نزدیک یکسان دیده می‌شود. مثلاً وقتی به یک کوه نگاه می‌کنیم شکلی شبیه به یک مخروط می‌بینیم که روی آن مخروطهای کوچکتر و بی نظمی دیده می‌شود ولی وقتی نزدیک می‌شویم همین مخروطهای کوچک شبیه کوه هستند یا شاخه‌های یک درخت شبیه خود درخت هستند. البته در طبیعت نمونه‌های اجسام فراکتال فراوان است مثلاً ابرها -رودها -سرخس‌ها و حتی گل کلم از اجسام فراکتال است؛ و اگر به ساخته‌های دست بشر هم نگاه کنیم تراشه‌های سیلیکان یا مثلث سرپینسکی نیز فراکتال هستند؛ و در معماری همیشه نباید نیاز بشر را هندسه اقلیدسی تأمین کند. گسترش شهرها نمونه آشکاری از فراکتال است.

برخال‌های طبیعی
این فرم‌ها که به صورت طبیعی وجود دارند دارای ساختاری خود متشابه هستند حتی در مقیاس میکروسکپی یک‌دانه برف دارای فرمی خود متشابه است.

فرم‌های مندلبرو
مجموعه‌های مندلبرو دارای پیچیدگی خاصی هستند. زمانی که یک فرم حالتی پیچیده پیدا می‌کند یا به عبارت دیگر به عناصر خرد تشکیل دهنده کل می‌رسد، فرم‌هایی بسیار پیچیده اما در عین حال منظمی را به ما می‌دهد که در اشکال زیر و نمونه‌های پیش‌فرض و آماده در فرکتال اکسپلورر گذاشته شده‌است.

برخال در مناظر طبیعی
این فرم‌ها همان‌طور که از اسم آن‌ها پیداست دارای فرمی طبیعی هستند (عدم دستبرد دست بشر). شاید بسیار در عکاسی معماری (برای عکس از یک سوژه) به یک منظره برخورد کرده باشید که در دوردست تپه‌ها و کوه‌ها دیده می‌شوند، بد نیست بدانید که خود این منظره دارای فرمی فرکتال با هندسه فرکتال قابل حل است.

الگوهای رویش برخالی
ایده خود متشابه در اصل توسط لایبنیتس بسط داده شد. او حتی بسیاری از جزئیات را حل کرد. در سال 1872 کارل وایرشتراس مثالی از تابعی را پیدا کرد با ویژگی‌های غیر بصری که در همه جا پیوسته بود ولی در هر جا مشتق پذیر نبود. گراف این تابع اکنون برخال نامیده می‌شود. در سال 1904 هلگه فون کخ به همراه خلاصه‌ای از تعریف تحلیلی وایرشتراس، تعریف هندسی‌تری از تابع متشابه ارائه داد که حالا به برفدانه کخ معروف است. در سال 1915 واکلو سرپینسکی مثلثش را و سال بعد فرش‌اش (برخالی) را ساخت. ایده منحنیهای خود متشابه توسط پاول پیر لوی مطرح شد او در مقاله اش در سال 1938 با عنوان «سطح یا منحنیهای فضایی و سطوحی شامل بخش‌های متشابه نسبت به کل» منحنی برخالی جدیدی را توصیف کرد منحنی لوی c. گئورگ کانتور مثالی از زیرمجموعه‌های خط حقیقی با ویژگی‌های معمول ارائه داد. این مجموعه‌های کانتور اکنون به‌عنوان برخال شناخته می‌شوند. اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم توابع تکرار شونده در سطح پیچیده توسط هانری پوانکاره، فلیکس کلاین، پیر فاتو و گاستون جولیا شناخته شده بودند. با این وجود بدون کمک گرافیک رایانه‌ای آن‌ها نسبت به نمایش زیبایی بسیاری از اشیایی که کشف کرده بودند، فاقد معنی بودند. در سال 1960 بنوا مندلبرو تحقیقاتی را در شناخت خودهمانندی طی مقاله‌ای با عنوان «طول ساحل بریتانیا چقدر است؟ ساختار فراکتالی چیست؟ خود متشابه‌ای آماری و بعد کسری» آغاز کرد. این کارها بر اساس کارهای پیشین ریچاردسون استوار بود. در سال 1975 مندلبرو برای مشخص کردن شئی که بعد هاوسدورف-بیسکویچ آن بزرگ‌تر از بعد توپولوژیک آن است کلمه «فراکتال» (برخال) را ابداع کرد. او این تعریف ریاضی را از طریق شبیه‌سازی خاص رایانه‌ای تشریح کرد.
برخال‌ها از نظر روش مطالعه به برخالهای جبری و بر خالهای احتمالاتی تقسیم می‌شوند. از طرف دیگر برخال‌ها یا خودهمانند اند self similarity یا خودناهمگرد self affinity هستند. در خودهمانندی، شکل جزء شباهت محسوسی به شکل کل دارد. این جزء، در همه جهات به نسبت ثابتی رشد می‌کند و کل را به وجود می‌آورد. اما در خودناهمگردی شکل جزء در همه جهات به نسبت ثابتی رشد نمی‌کند. مثلاً در مورد رودخانه‌ها و حوضه‌های آبریز بعد برخالی طولی متفاوت از بعد برخالی عرضی است Vx = 0. 72–0. 74 و Vy = 0. 51–0. 52 (ساپوژنیکوف و فوفولا، 1993) از این‌رو شکل حوضه آبریز کشیده‌تر از زیر حوضه‌های درون حوضه‌است. به خودهمانندی همسانگرد isotropy می‌گویند. به خود ناهمگردی ناهمسانگرد anisotropy می‌گویند.

طبقه‌بندی
برخال‌ها همچنین بر اساس خود همانندی طبقه‌بندی می‌شوند. سه نوع خود همانندی وجود دارد:
خود همانندی دقیق – این قوی‌ترین نوع خود همانندی است.
گسترش رو به رشد رویکرد تک‌برخالی (مونوفراکتالی) اخیر، داده‌ها را با مجموعه برخالی، به جای بعد منفرد برخالی توصیف می‌کند. این مجموعه طیف چندبرخالی multifractal spectrum نامیده می‌شود و روش توصیف تغییرپذیری بر اساس طیف‌سنجی چندبرخالی به آنالیز چندبرخالی معروف است (فریش و پاریسی، 1985). روش چند برخالی به اندازه خودهمانندی آماری دلالت دارد که می‌تواند به صورت ترکیبی از مجموعه‌های به‌هم تنیده برخالی مطابق با نمای مقیاس‌گذاری نمایش داده شود. ترکیبی از همه مجموعه‌های برخالی طیف چند برخالی‌ای را ایجاد می‌کند که تغییرپذیری و ناهمگنی متغیر مورد مطالعه را مشخص می‌کند. مزیت رویکرد چند برخالی این است که پارامترهای چندبرخالی می‌توانند مستقل از اندازه موضوع مورد مطالعه باشند.

کاربردها
از برخال‌ها به منظور آسان‌سازی در کارهای وابسته به مدل‌سازی پیچیدگی در زمینه‌های گوناگون علمی و مهندسی استفاده می‌شود. از زمینه‌های مهم کاربردی گزینه‌های زیر را می‌توان برشمرد:
– گرافیک رایانه‌ای
– پردازش تصاویر
– نظریهٔ موجک‌ها
– تغییر شکل پلاستیک و شکست مواد

رابطه برخال و معماری
انسانها در روزگار قدیم در طبیعت می‌زیستند و مانند انسان دوره نوین، با طبیعت بیگانه نبودند، به این رو معماریشان با نظم طبیعت بود. آن‌ها به این فرنود که در طبیعت رشد می‌یافتند، ضمیر ناخودآگاهشان نیز با نظم طبیعت- یعنی با نظم برخال- رشد میافت، در نتیجه ساخته‌هایشان نیز دارای نظم برخال می‌بود.
مطالعه هندسه باید به طراح کمک کند که به درک بهتری از جریان ریزگان (جزئیات) در پیرامون ما و جهان طبیعی دست یابد. ویژگی‌های برخالی یک آمیزه معماری در پیوستگی زنجیروار ریزگان است. این پیوستگی زنجیروار برای جذابیت معماری لازم است. هنگامی که تنومی (شخصی) به یک ساختمان نزدیک و سپس به آن وارد ساختار فراکتالی چیست؟ می‌شود همیشه باید مقیاس کوچکتر دیگری همراه با ریزگان جذاب وجود داشته باشد تا معنای کلی آمیزه را بیان کند که این یک ایده برخال است.

برخال و هنر
در هنر دوران‌های مختلف ساختارها و گونه‌ها و حتی نقاشی‌های گوناگونی را از برخال می‌بینیم. در این زمینه به ذکر 2 نمونه بسنده می‌کنیم.
برخال در هنر آفریقا
برخال را در آثار نقاشانی چون جکسون پولاک و لاری پونز